INFO

Format PDF
Rozmiar: 3.49 MB (bajtów: 3 661 411)

OPIS

Skrypt dla studentów III–ego roku fizyki jakiejś gdańskiej uczelni.


I CZĘŚĆ GŁÓWNA WYKŁADU 1

1 Cząstki i fale 1
1.1 Fale elektromagnetyczne i fotony - 1
1.2 Analiza doświadczenia interferencyjnego Young’a - 2
1.2.1 Eksperyment pierwszy – jedna szczelina otwarta - 2
1.2.2 Eksperyment drugi – obie szczeliny otwarte - 3
1.2.3 Dyskusja opisu korpuskularnego - 4
1.3 Dualizm korpuskularno–falowy - 6
1.3.1 Podsumowanie omawianych doświadczeń - 6
1.3.2 Kwantowa uni?kacja obu aspektów - 6
1.3.3 Dualizm korpuskularno–falowy - 7
1.4 Idea rozkładu spektralnego - 8
1.4.1 Dyskusja eksperymentu polaryzacyjnego - 8
1.4.2 Wnioski kwantowo-mechaniczne - 9
2 Funkcje falowe i równanie Schrödingera 12
2.1 Funkcja falowa - 12
2.2 Równanie Schrödingera - 13
2.2.1 Uwagi i komentarze - 14
2.2.2 Uzasadnienie równania Schrödingera - 15
2.2.3 Dalsze uwagi i komentarze - 17
2.2.4 Uogólnienie - 18
2.3 Własności funkcji falowych - 18
2.3.1 Probabilistyczna interpretacja funkcji falowej - 18
2.3.2 Gęstość i prąd prawdopodobieństwa - 20
2.4 Stacjonarne równanie Schrödingera - 22
2.4.1 Wprowadzenie - 22
2.4.2 Cząstka swobodna - 24
2.4.3 Stany związane i rozproszeniowe - 27
2.4.4 Warunki ciągłości dla funkcji falowych - 29
3 Podstawy formalizmu mechaniki kwantowej 30
3.1 Przestrzeń funkcji falowych i operatory - 30
3.1.1 Przestrzeń funkcji falowych – przestrzeń Hilberta - 30
3.1.2 Operatory na przestrzeni funkcji falowych - 32
3.1.3 Operatory hermitowskie - 36
3.2 Obserwable i pomiary - 38
3.2.1 Obserwable - 38
3.2.2 Wyniki pomiarów i ich prawdopodobieństwa - 38
3.3 Wartości oczekiwane - 44
3.3.1 Dyskusja dodatkowa- Dyspersje - 46
3.4 Konstrukcja operatorów – obserwabli - 48
3.4.1 Operatory położenia i pędu - 48
3.4.2 Zasada odpowiedniości - 49
3.4.3 Hamiltonian cząstki - 50
3.5 Nawiasy Poissona i relacje komutacyjne- Metoda kwantowania - 51
4 Równanie Schrödingera 53
4.1 Zachowanie normy wektora stanu – funkcji falowej - 53
4.2 Równanie Schrödingera dla układu konserwatywnego - 54
4.2.1 Ewolucja w czasie dla stanu stacjonarnego - 55
4.2.2 Normowanie stacjonarnej funkcji falowej (4.25) - 57
4.2.3 Stan początkowy – stan własny hamiltonianu - 58
4.2.4 Uwagi o zachowaniu energii - 59
4.3 Ewolucja wartości oczekiwanej obserwabli - 59
i6.03.2010 MECHANIKA KWANTOWA – Spis treści ii
4.3.1 hAi t – liczbowa funkcja czasu - 59
4.3.2 Równanie ruchu dla hAi t - 60
4.4 Twierdzenie Ehrenfesta - 61
4.4.1 Wyprowadzenie równań Ehrenfesta - 61
4.4.2 Dyskusja- Granica klasyczna - 63
5 Zasada nieoznaczoności 65
5.1 Formalna zasada nieoznaczoności - 65
5.1.1 Średnie i dyspersje- Pojęcia wstępne - 65
5.1.2 Zasada nieoznaczoności - 67
5.1.3 Warunki minimalizacji zasady nieoznaczoności - 67
5.2 Dyskusja i pewne zastosowania - 68
5.2.1 Ogólne sformułowanie - 68
5.2.2 Relacja nieoznaczoności położenie–pęd - 69
5.2.3 Zastosowanie do atomu w modelu Bohra - 70
5.3 Zasada nieoznaczoności energia – czas - 71
6 Ważny przykład – oscylator harmoniczny 73
6.1 Wprowadzenie - 73
6.2 Stacjonarne równanie Schrödingera dla oscylatora - 74
6.2.1 Zamiana zmiennych - 74
6.2.2 Zachowanie asymptotyczne - 76
6.2.3 Równanie dla funkcji f(?) - 77
6.3 Rozwiązanie via kon?uentna funkcja hipergeometryczna - 77
6.3.1 Kon?uentne równanie hipergeometryczne- Rozwiązanie - 77
6.3.2 Dyskusja rozwiązań - 78
6.3.3 Wielomiany Hermite’a- Funkcje własne - 80
6.3.4 Podsumowanie: funkcje i energie własne oscylatora - 81
6.4 Pewne zastosowania - 82
6.4.1 Element macierzowy operatora położenia - 82
6.4.2 Element macierzowy operatora pędu - 83
6.4.3 Elementy macierzowe h k | ^x 2 | n i oraz h k | ^p 2 | n i - 85
6.4.4 Zasada nieoznaczoności i energia stanu podstawowego - 85
7 Notacja Diraca 87
7.1 Abstrakcyjna przestrzeń wektorów stanu - 87
7.2 Kety i bra- Notacja Diraca - 88
7.3 Operatory liniowe - 89
7.3.1 Operatory, kety i bra - 89
7.3.2 Operator rzutowy - 90
7.4 Sprzężenia hermitowskie w notacji Diraca - 91
7.4.1 De?nicja operatora sprzężonego - 91
7.4.2 Własności sprzężenia hermitowskiego - 91
7.4.3 Uwagi dodatkowe i przykłady - 92
7.4.4 Notacja Diraca – reguły mnemotechniczne - 92
7.5 Operatory hermitowskie – obserwable - 93
8 Reprezentacje w przestrzeni stanów 94
8.1 De?nicja reprezentacji - 94
8.1.1 Intuicyjne wprowadzenie - 94
8.1.2 Relacje ortonormalności i zupełności - 95
8.2 Reprezentacje ketów, bra oraz operatorów - 96
8.2.1 Reprezentacje ketów i bra - 96
8.2.2 Reprezentacja iloczynu skalarnego - 97
8.2.3 Uwagi o normowaniu - 97
8.2.4 Reprezentacja | ? 0 i = ^A| ? i - 97
8.2.5 Reprezentacja iloczynu operatorów - 99
8.2.6 Elementy macierzowe operatora sprzężonego - 99
8.2.7 Wyrażenie dla h ? | ^A | ? i - 100
8.3 Operatory rzutowe i rozkład spektralny obserwabli - 100
8.3.1 Projektory jednowymiarowe - 101
8.3.2 Projektory wielowymiarowe - 101
8.3.3 Rozkład spektralny obserwabli - 102
8.4 Nowa terminologia - 103
8.4.1 Funkcje falowe w reprezentacji U - 103
8.4.2 Operatory w reprezentacji U - 104
8.4.3 Uwagi dodatkowe - 105
9. Reprezentacje położeniowa i pędowa 107
9.1 Reprezentacja położeniowa - 107
9.1.1 De?nicja reprezentacji położeniowej - 107
9.1.2 Funkcje falowe w reprezentacji położeniowej - 108
9.1.3 Operatory w reprezentacji położeniowej - 109
9.1.4 Operator pędu w reprezentacji położeniowej - 109
9.1.5 Zasada odpowiedniości w reprezentacji położeniowej - 111
9.2 Reprezentacja pędowa - 112
9.3 Związek między reprezentacjami |~r i i | ~p i - 113
9.3.1 Wprowadzenie - 113
9.3.2 Funkcje własne pędu w reprezentacji położeniowej - 114
9.3.3 Zmiana reprezentacji – pary fourierowskie - 116
9.3.4 Cząstka swobodna - 116
9.3.5 Kłopoty interpretacyjne - 117
10. Zupełny zbiór obserwabli komutujących 119
10.1 Twierdzenia matematyczne - 119
10.2 Zupełny zbiór obserwabli komutujących (ZZOK) - 122
10.3 Uwagi praktyczne - 123
11 Postulaty mechaniki kwantowej 125
11.1 Postulat 1: wektor stanu - 125
11.2 Postulat 2: obserwable - 126
11.3 Postulat 3: wyniki pomiarów – wartości własne obserwabli - 126
11.4 Postulat 4: prawdopodobieństwo wyników pomiarowych - 126
11.4.1 Przypadek widma dyskretnego bez degeneracji - 127
11.4.2 Przypadek widma dyskretnego z degeneracją - 127
11.4.3 Przypadek widma ciągłego - 128
11.5 Postulat 5: pomiar – redukcja wektora stanu - 129
11.6 Postulat 6: ewolucja w czasie – równanie Schrödingera - 130
12 Kwantowa teoria momentu pędu 131
12.1 Orbitalny moment pędu – wstęp - 131
12.1.1 Podstawowe de?nicje - 131
12.1.2 Relacje komutacyjne - 132
12.2 Ogólny operator moment pędu - 133
12.2.1 De?nicje i uwagi wstępne - 133
12.2.2 Relacje komutacyjne - 134
12.3 Wartości własne operatorów ~J 2 oraz J 3 = J z - 135
12.3.1 Wprowadzenie - 135
12.3.2 Wartość własna m jest ograniczona - 136
12.3.3 Własności J ± | j m i - 137
12.3.4 Wartości własne ~J 2 oraz J 3 = J z - 137
12.3.5 Podsumowanie - 139
12.4 Wektory własne operatorów ~J 2 oraz J 3 = J z - 139
12.4.1 Konstrukcja stanów | j m i - 139
12.4.2 Reprezentacja standardowa - 140
13 Orbitalny momentu pędu 142
13.1 Ogólne własności orbitalnego momentu pędu - 142
13.1.1 Przypomnienie wyników - 142
13.2 Wartości własne i wektory własne - 143
13.2.1 Elementy macierzowe - 143
13.3 Orbitalny moment pędu w reprezentacji położeniowej - 144
13.3.1 Współrzędne kartezjańskie i sferyczne - 144
13.3.2 Operatory L k we współrzędnych sferycznych - 145
13.3.3 Operator ~L 2 we współrzędnych sferycznych - 146
13.3.4 Wartości własne i funkcje własne ~L 2 i L 3 - 148
13.4 Harmoniki sferyczne - 150
13.4.1 Wprowadzenie - 150
13.4.2 Konstrukcja harmonik sferycznych - 150
13.4.3 Harmoniki sferyczne – zebranie informacji - 152
14. Stany stacjonarne w potencjale centralnym 155
14.1 Postawienie problemu - 155
14.1.1 Przypomnienie klasycznego problemu Keplera - 155
14.1.2 Hamiltonian kwantowo-mechaniczny - 157
14.2 Separacja zmiennych - 158
14.2.1 Zupełny zbiór obserwabli komutujących - 158
14.2.2 Radialne równanie Schrödingera - 159
14.2.3 Zachowanie się funkcji radialnych w r = 0 - 160
14.3 Podsumowanie - 161
14.3.1 Równanie radialne - 161
14.3.2 Liczby kwantowe - 162
14.3.3 Degeneracja zasadnicza i przypadkowa - 163
14.4 Zagadnienie dwóch ciał - 163
14.4.1 Separacja zmiennych w mechanice kwantowej - 163
14.4.2 Wartości i funkcje własne Hamiltonianu - 165
15. Atom wodoropodobny 168
15.1 Wprowadzenie - 168
15.2 Stabilność atomu - 169
15.2.1 Dyskusja klasyczna - 169
15.2.2 Dyskusja kwantowo-mechaniczna - 169
15.3 Kwantowo-mechaniczna teoria atomu wodoropodobnego - 170
15.3.1 Równanie radialne – dyskusja własności - 170
15.3.2 Rozwiązanie równania radialnego - 171
15.3.3 Dyskusja rekurencji i kwantowanie energii - 176
15.3.4 Funkcje radialne – ogólne sformułowanie - 177
15.4 Dyskusja uzyskanych rezultatów - 179
15.4.1 Rzędy wielkości parametrów atomowych - 179
15.4.2 Poziomy energetyczne- Główna liczba kwantowa - 179
15.4.3 Radialne funkcje falowe - 181
15.4.4 Jawne wyrażenia dla kilku pierwszych funkcji radialnych - 183
15.4.5 Podsumowanie - 184
15.5 Obliczanie średnich h r s i nl - 185
15.5.1 Wprowadzenie - 185
15.5.2 Kilka przypadków szczególnych - 186
15.5.3 Wzór rekurencyjny Kramersa dla średnich h r s i nl - 187
16 Oddziaływanie z polem elektromagnetycznym 189
16.1 Przybliżenie półklasyczne w mechanice kwantowej - 189
16.1.1 Hamiltonian - 189
16.1.2 Niezmienniczość ze względu na cechowanie - 191
16.1.3 Ciągłość prądu prawdopodobieństwa - 191
16.2 Cząstka bezspinowa w jednorodnym polu magnetycznym - 194
16.2.1 Wybór potencjału wektorowego - 194
16.2.2 Hamiltonian - 194
16.2.3 Dyskusja rzędów wielkości - 195
16.2.4 Interpretacja członu paramagnetycznego - 196
16.2.5 Interpretacja członu diamagnetycznego - 198
16.3 Normalny efekt Zeemana dla atomu wodoropodobnego - 198
16.3.1 Poziomy energetyczne - 198
17 Teoria spinu 1/2 201
17.1 Wprowadzenie – braki dotychczasowej teorii - 201
17.2 Postulaty teorii Pauliego - 202
17.3 Macierze Pauliego i operatory spinu 1/2 - 204
17.4 Nierelatywistyczny opis cząstki o spinie 1/2 - 207
17.4.1 Wektory stanu – spinory - 207
17.4.2 Operatory i ich działanie na spinory - 208
17.4.3 Obliczanie prawdopodobieństw i wartości oczekiwanych - 209
18 Dodawanie momentów pędu 211
18.1 Całkowity moment pędu - 211
18.1.1 Przypomnienie z mechaniki klasycznej - 211
18.1.2 Przykład kwantowo-mechaniczny - 211
18.1.3 Oddziaływanie spin-orbita – dyskusja wstępna - 213
18.2 Dodawanie dwóch momentów pędu - 214
18.2.1 Dyskusja i wprowadzenie - 214
18.2.2 Podstawowe własności operatora ~J = ~ j 1 + ~ j 2 - 216
18.2.3 Wartości własne (liczby kwantowe) J oraz M - 217
18.2.4 Wektory własne operatorów ~J 2 i J 3 - 219
18.3 Współczynniki Clebscha-Gordana (CG) - 224
18.3.1 Wprowadzenie - 224
18.3.2 Własności współczynników CG - 225
19 Stacjonarny rachunek zaburzeń 231
19.1 Istota problemu - 231
19.2 Rachunek zaburzeń dla stanu niezdegenerowanego - 233
19.2.1 Wprowadzenie - 233
19.2.2 Formalizm matematyczny - 234
19.2.3 Poprawki pierwszego rzędu - 235
19.2.4 Poprawki drugiego rzędu do energii - 237
19.2.5 Dyskusja uzyskanych rezultatów - 238
19.3 Rachunek zaburzeń dla stanu zdegenerowanego - 239
19.3.1 Wprowadzenie - 239
19.3.2 Formalizm rachunku zaburzeń z degeneracją - 240
19.3.3 Dyskusja macierzy zaburzenia - 242
19.3.4 Rachunek zaburzeń z degeneracją – podsumowanie - 244
20 Rachunek zaburzeń z czasem 245
20.1 Przybliżone rozwiązanie równania Schrödingera - 245
20.1.1 Zagadnienie stacjonarne – przypomnienie - 245
20.1.2 Wpływ zewnętrznego zaburzenia- Prawdopodobieństwo przejścia - 246
20.1.3 Prawdopodobieństwo przejścia w pierwszym rzędzie rachunku zaburzeń - 248
20.2 Zaburzenie harmoniczne - 250
20.2.1 Prawdopodobieństwo przejścia - 250
20.2.2 Własności funkcji pomocniczych - 252
20.2.3 Prawdopodobieństwo przejścia- Przybliżenie rezonansowe - 255
20.2.4 Zaburzenie stałe w czasie - 257
20.2.5 Szerokość rezonansu i zasada nieoznaczoności - 258
20.2.6 Warunki stosowalności - 258
20.2.7 Podsumowanie - 260
20.3 Sprzężenie ze stanami z continuum - 260
20.3.1 Dyskusja problemu - 260
20.3.2 Złota reguła Fermiego - 262
21 Oddziaływanie atomów z falą elektromagnetyczną 263
21.1 Prosta dyskusja zjawisk optycznych - 263
21.1.1 Gęstość modów we wnęce - 263
21.1.2 Rozkład Plancka - 264
21.1.3 Współczynniki A i B Einsteina - 266
21.2 Oddziaływanie atomu z falą elektromagnetyczną - 269
21.2.1 Hamiltonian oddziaływania - 269
21.2.2 Prawdopodobieństwo przejścia, cz- I - 272
21.2.3 Prawdopodobieństwo przejścia, cz- II - 274
21.2.4 Reguły wyboru - 276
21.2.5 Współczynniki A i B Einsteina - 279
21.2.6 Stosowalność rachunku zaburzeń - 280

II ROZDZIAŁY UZUPEŁNIAJĄCE I ĆWICZENIOWE 282

22 (U.1) Cząstki i fale 283
22.1 Doświadczenia z polaryzacją fotonu - 283
22.1.1 Przypomnienie - 283
22.1.2 Trzy polaryzatory - 284
23 (U.2) Funkcje falowe i równanie Schrödingera 286
23.1 Równanie Kleina–Gordona - 286
23.2 Jednowymiarowe równanie Schrödingera - 286
23.2.1 Ogólne omówienie - 286
23.2.2 U(x) – funkcja parzysta - 288
23.3 Jednowymiarowa, nieskończona studnia potencjału - 289
23.3.1 Wprowadzenie - 289
23.3.2 Rozwiązanie równania Schrödingera - 290
23.3.3 Funkcje falowe - 291
23.3.4 Podsumowanie - 292
23.4 Jednowymiarowa, skończona studnia potencjału - 292
23.4.1 Wprowadzenie - 292
23.4.2 Stany związane - 293
23.4.3 Stany rozproszeniowe - 300
23.4.4 Rozpraszanie niskoenergetyczne - 304
23.5 Cząstka swobodna i pakiet falowy - 309
23.5.1 Pakiet falowy - 309
23.5.2 Pakiet gaussowski - 310
23.5.3 Ewolucja pakietu gaussowskiego - 312
23.5.4 Dyskusja - 315
24 (U.3) Podstawy formalizmu mechaniki kwantowej 317
24.1 Wartości oczekiwane i dyspersje dla stanu superponowanego - 317
24.1.1 Założenia wstępne - 317
24.1.2 Obliczenia elementów macierzowych - 318
24.1.3 Dyspersja energii - 318
24.2 Pomiary i stany pośrednie - 319
24.2.1 Doświadczenie 1: dwa kolejne pomiary - 319
24.2.2 Doświadczenie 2: bez stanu pośredniego - 321
24.2.3 Dyskusja - 321
25 (U.4) Równanie Schrödingera 323
25.1 Pakiet falowy – raz jeszcze - 323
25.1.1 Wartości oczekiwane h x i i h x 2 i - 323
25.1.2 Wartości oczekiwane h p i i h p 2 i - 324
25.2 Uogólnione twierdzenie o wiriale - 326
26 (U.5) Zasada nieoznaczoności 327
26.1 Pakiet falowy minimalizujący zasadę nieoznaczoności - 327
26.1.1 Wyprowadzenie postaci pakietu - 327
26.1.2 Dyskusja wyników - 329
26.2 Dyskusja doświadczenia interferencyjnego - 329
27 (U.6) Oscylator harmoniczny 332
27.1 Rozwiązanie przez rozwinięcie w szereg - 332
27.1.1 Ogólna postać rozwiązań - 332
27.1.2 Dyskusja rozwinięć- Kwantowanie energii - 333
27.2 Alternatywna postać funkcji falowych - 335
27.3 Szacowanie energii stanu podstawowego z zasady nieoznaczoności - 337
27.4 Operatory anihilacji i kreacji- Oscylator harmoniczny - 339
27.4.1 Operatory anihilacji i kreacji – ogólna teoria - 339
27.4.2 Operatory anihilacji i kreacji – podsumowanie - 343
27.4.3 Zastosowanie do oscylatora harmonicznego - 344
28. (U.7) Notacja Diraca 350
28.1 Przestrzeń dualna- Pojęcie bra - 350
28.2 Operatory i ich sprzężenia - 351
29. (U.8) Reprezentacje w przestrzeni Hilberta 354
29.1 Reprezentacje – dyskusja praktyczna - 354
29.1.1 Wprowadzenie - 354
29.1.2 Dyskusja zagadnień praktycznych - 355
29.1.3 Dowolny stan | ? i - 356
29.1.4 Uwagi końcowe - 358
29.2 Zmiany reprezentacji - 358
29.2.1 Dwie reprezentacje: "stara" i "nowa" - 358
29.2.2 Własności transformacji - 359
29.2.3 Uwagi końcowe - 362
30 (U.9) Reprezentacje położeniowa i pędowa 363
30.1 Operator pędu w reprezentacji położeniowej- Twierdzenie pomocnicze - 363
30.2 Funkcje falowe oscylatora harmonicznego w reprezentacji pędowej - 364
31 (U.10) Ewolucja układów kwantowych w czasie 367
31.1 Równanie Schrödingera i operator ewolucji - 367
31.1.1 Podstawowe de?nicje - 367
31.1.2 Własności operatora ewolucji - 367
31.1.3 Postać operatora ewolucji - 369
31.2 Obraz Schrödingera - 370
31.3 Obraz Heisenberga - 371
31.3.1 Wektor stanu w obrazie Heisenberga - 371
31.3.2 Operatory w obrazie Heisenberga - 371
31.3.3 Ewolucja operatora w obrazie Heisenberga - 372
31.3.4 Pewne dodatkowe własności obrazu Heisenberga - 373
31.4 Obraz oddziaływania - 374
31.4.1 Wektor stanu w obrazie oddziaływania - 375
31.4.2 Równanie Schrödingera w obrazie oddziaływania - 375
31.4.3 Operatory i ich ewolucja w obrazie oddziaływania - 376
31.5 Ewolucja stanu układu w obrazie oddziaływania - 378
31.5.1 Postawienie problemu - 378
31.5.2 Rozwiązanie iteracyjne - 378
31.6 Interpretacja szeregu iteracyjnego - 379
32. (U.11) Obroty i moment pędu 382
32.1 Wprowadzenie - 382
32.2 Podstawowe własności obrotów w R 3 - 383
32.2.1 Obrót wektora - 383
32.2.2 Obroty in?nitezymalne - 385
32.2.3 Własności obrotów - 385
32.3 Operatory obrotów w przestrzeni stanów (bez spinu) - 385
32.3.1 De?nicja operatora obrotu - 385
32.3.2 Własności operatora obrotu - 386
32.3.3 Transformacja obserwabli - 387
32.4 Obroty i momentu pędu - 388
32.4.1 Obrót in?nitezymalny - 388
32.4.2 Operator skończonego obrotu i moment pędu - 390
32.4.3 Transformacje obserwabli - 390
32.5 Relacje komutacyjne - 390
32.6 Uwagi końcowe - 393
32.6.1 Całkowity moment pędu - 393
32.6.2 Niezmienniczość przy obrotach - 393
33. (U.12) Potencjał centralny 396
33.1 Układ środka masy i ruch względny- Przypomnienie z ?zyki klasycznej - 396
33.2 Model molekuły dwuatomowej- Potencjał Kratzera - 398
33.2.1 Wprowadzenie - 398
33.2.2 Radialne równanie Schrödingera - 399
33.2.3 Pełna funkcja falowa - 402
33.2.4 Kwantowanie energii - 403
33.2.5 Rozwinięcie potencjału w otoczeniu r min = a - 405
33.2.6 Dyskusja przybliżonego wyrażenia dla E nl - 406
33.2.7 Wartość h r i w stanie podstawowym - 407
34. (U.13) Atom wodoropodobny 409
34.1 Model Bohra – przypomnienie - 409
34.1.1 Postulaty Bohra - 409
34.1.2 Obliczenia E n i r n - 410
34.2 Pęd radialny w atomie wodoropodobnym - 411
34.2.1 Uwagi wstępne - 411
34.2.2 Pęd radialny - 412
34.2.3 Równania ruchu dla wielkości radialnych - 413
34.3 Wzór rekurencyjny Kramersa dla h r s i nl - 413
34.3.1 Zastosowanie twierdzenia o wiriale - 414
34.3.2 Wykorzystanie równań ruchu dla wielkości radialnych - 414
34.3.3 Pomocnicze wartości oczekiwane - 415
34.3.4 Ostatni etap obliczeń - 416
35. (U.14) Oddziaływanie z polem elektromagnetycznym 418
35.1 Przypomnienie ?zyki klasycznej - 418
35.1.1 Równania Lagrange’a - 418
35.1.2 Potencjał uogólniony U e dla cząstki w polu - 419
35.1.3 Formalizm kanoniczny (hamiltonowski) - 420
35.1.4 Krótka uwaga o cechowaniu - 421
35.1.5 Hamiltonian cząstki klasycznej - 422
35.2 Niezmienniczość ze względu na cechowanie - 422
35.2.1 Niezmienniczość równania Schrödingera - 422
35.2.2 Niezmienniczość prądu prawdopodobieństwa - 426
35.3 Cechowanie i mechanika kwantowa - 427
35.3.1 Uwagi wstępne - 427
35.3.2 Transformacja wektora stanu - 428
35.3.3 Ewolucja wektora stanu - 429
36. (U.15) Spin 432
36.1 Własności momentu pędu – spinu 1/2 - 432
36.1.1 Sformułowanie abstrakcyjne - 432
36.1.2 Spin 1/2 w dowolnym kierunku - 433
36.2 Nierelatywistyczny opis cząstki o spinie s - 437
36.2.1 Wektory stanu – spinory - 437
36.3 Przykłady operatorów dla s = 1, 2 - 438
36.4 Spin 1/2 w polu magnetycznym - 440
36.4.1 Wprowadzenie - 440
36.4.2 Pole statyczne i pole zmienne w czasie - 441
36.4.3 Równanie Schrödingera - 442
36.4.4 Pole statyczne- Precesja Larmora - 446
36.4.5 Oscylacje Rabiego - 447
36.4.6 Widmo Mollowa - 449
36.5 Pewne własności macierzy Pauliego - 451
37. (U.16) Dodawanie momentów pędu 453
37.1 Złożenie orbitalnego momentu pędu i spinu 1/2 - 453
37.1.1 Przejście do bazy sprzężonej - 453
37.1.2 Obliczenia współczynników CG - 454
37.1.3 Stany bazy sprzężonej w reprezentacji położeniowej - 460
37.1.4 Przykład zastosowania: l = 1 i s = 1 2 461
37.1.5 Stany bazy niesprzężonej via stany sprzężone - 462
37.1.6 Unitarność współczynników Clebscha–Gordana - 463
37.1.7 Przykład zastosowania - 464
38 (U.17) Stacjonarny rachunek zaburzeń 467
38.1 Komentarze do ogólnej teorii - 467
38.1.1 Rachunek zaburzeń dla stanu niezdegenerowanego - 467
38.1.2 Rachunek zaburzeń dla stanu zdegenerowanego - 473
38.2 Struktura subtelna w atomie wodoropodobnym - 474
38.2.1 Hamiltonian i jego dyskusja - 474
38.2.2 Poprawka do energii kinetycznej - 477
38.2.3 Oddziaływanie spin-orbita - 481
38.2.4 Struktura subtelna - 487
39 (U.18) Metoda wariacyjna 490
39.1 Metoda wariacyjna - 490
39.1.1 Uwagi wstępne - 490
39.1.2 Twierdzenia pomocnicze - 490
39.1.3 Funkcjonał E(?) szacuje energię od góry - 492
39.1.4 Procedura obliczeń metodą wariacyjną - 494
39.2 Przykład: energia stanu podstawowego atomu helopodobnego - 494
39.2.1 Omówienie problemu - 494
39.2.2 Wybór funkcji próbnej- Konstrukcja funkcjonału E(?) - 495
39.2.3 Dyskusja wyników - 500
39.2.4 Pierwszy rząd rachunku zaburzeń - 501
40 (U.19) Zaburzenia zależne od czasu 504
40.1 Rachunek zaburzeń zależny od czasu - 504
40.1.1 Omówienie problemu - 504
40.1.2 Przybliżona ewolucja wektora stanu - 504
40.1.3 Prawdopodobieństwo przejścia - 505
40.2 Atom wodoru w zmiennym polu elektrycznym - 507
40.2.1 Wprowadzenie - 507
40.2.2 Prawdopodobieństwo przejścia – obliczenia - 508
40.2.3 Prawdopodobieństwo przejścia | 1, 0, 0 i › | 2, l, m i - 511
40.2.4 Stosowalność rachunku zaburzeń - 511
40.3 Przybliżenie sekularne - 512
40.3.1 Uwagi wstępne - 512
40.3.2 Stany istotne w okolicach rezonansu - 513
40.3.3 Zaniedbanie stanów nierezonansowych - 514
40.3.4 Zaniedbanie składników szybko oscylujących - 514
40.3.5 Rozwiązanie równań - 516

III DODATKI MATEMATYCZNE 518

A Kon?uentna funkcja hipergeometryczna 519
B Wielomiany Hermite’a i ich własności 522
B.1 De?nicje - 522
B.2 Relacje rekurencyjne i równanie różniczkowe Hermite’a - 523
B.3 Całki z wielomianami Hermite’a - 524
B.4 Inne sposoby obliczania całek - 527
C Harmoniki sferyczne 528
C.1 Wprowadzenie - 528
C.1.1 Całka normalizacyjna I p (n) - 528
C.2 Wyprowadzenie postaci Y l m (?, ?) dla m < l - 530
C.2.1 Zastosowanie operatora obniżającego - 530
C.2.2 Operator (L - /~) k w reprezentacji położeniowej - 531
C.2.3 Harmoniki Y l m (?, ?) - 533
C.3 Jawne obliczenia pewnych harmonik sferycznych - 533
C.4 Inny sposób konstrukcji - 535
C.5 Harmoniki i ich sprzężenia zespolone - 537
C.6 Relacja rekurencyjna dla harmonik sferycznych - 538
D Wielomiany Legendre’a, itp- 543
D.1 Wielomiany Legendre’a - 543
D.2 Stowarzyszone funkcje Legendre’a - 545
D.3 Harmoniki sferyczne - 546
D.3.1 Związek ze stowarzyszonymi funkcjami Legendre’a - 546
D.3.2 Parzystość harmonik sferycznych - 547
D.3.3 Harmoniki sferyczne to funkcje własne ~L 2 i L z - 547
E Uwagi o wielomianach Laguerre’a 549
E.1 Podstawy – de?nicje - 549
E.2 Całki z wielomianami Laguerre’a - 550
IV ZADANIA DOMOWE 555
Seria 1 - 556
Seria 2 - 558
Seria 3 - 560
Seria 4 - 562
Seria 5 - 565
Seria 6 - 567
Seria 7 - 569
Seria 8 - 571
Seria 9 - 573
Seria 10 - 575
Skorowidz